绵阳二诊 19 题（DeepSeek）

(1) 证明：$PA \perp FG$

以 $C$ 为坐标原点，$\overrightarrow{CA}$ 的方向为 $x$ 轴正方向，$\overrightarrow{CB}$ 的方向为 $y$ 轴正方向，$\overrightarrow{CP}$ 的方向为 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。
由 $PC \perp$ 平面 $ABC$，$PC = 2$，$PA = 2\sqrt{2}$，得 $AC = \sqrt{PA^2 - PC^2} = 2$。
设 $C(0,0,0)$，$P(0,0,2)$，$A(2,0,0)$。
设 $B(b_1, b_2, 0)$，$D(d_1, d_2, 0)$。
由 $E$ 为 $PA$ 的中点，得 $E(1,0,1)$。
设 $F$ 在 $PB$ 上，$\overrightarrow{PF} = t \overrightarrow{PB}$；$G$ 在 $PD$ 上，$\overrightarrow{PG} = s \overrightarrow{PD}$。
由 $EF \perp PB$ 和 $EG \perp PD$，结合 $EF = EG = 1$，可解得

$$t(b_1 + 2) = 1, \quad s(d_1 + 2) = 1.$$

计算

$$\overrightarrow{PA} = (2,0,-2), \quad \overrightarrow{FG} = (s d_1 - t b_1, s d_2 - t b_2, 2(t-s)).$$

则

$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{FG} = 2(s d_1 - t b_1) + (-2) \cdot 2(t-s) = 2s d_1 - 2t b_1 - 4t + 4s = 2s(d_1+2) - 2t(b_1+2) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 0,$$

所以 $PA \perp FG$。

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(2) 若 $PC \,//\,$ 平面 $EBD$，设二面角 $B-AP-D$ 的平面角为 $\theta$，且 $\theta$ 为钝角，求 $\cos \theta$ 的最大值

由 $PC \,//\,$ 平面 $EBD$，得平面 $EBD$ 的法向量垂直于 $\overrightarrow{PC} = (0,0,1)$，进而推得 $b_1 d_1 = 1$。
设 $u = b_1$，$v = d_1$，则 $uv = 1$，且 $b_2^2 = 4u$，$d_2^2 = 4v$。
二面角 $B-AP-D$ 的平面角 $\theta$ 满足

$$\cos \theta = \frac{8\sigma + 5 - 2t}{5 + 2t},$$

其中 $\sigma = \operatorname{sign}(b_2 d_2) = \pm 1$，$t = u + \frac{1}{u} \geq 2$。

由 $\theta$ 为钝角，得 $\cos \theta < 0$。

• 当 $\sigma = 1$ 时，需 $t > 6.5$，此时 $\cos \theta = \frac{13-2t}{5+2t}$ 在 $t > 6.5$ 时单调递减，值域为 $(-1,0)$，无最大值，但可无限接近 $0$。
• 当 $\sigma = -1$ 时，$\cos \theta = -\frac{2t+3}{2t+5}$ 在 $t \geq 2$ 时单调递减，当 $t = 2$ 时取得最大值 $-\frac{7}{9}$。

考虑到 $\sigma = 1$ 时 $\cos \theta$ 虽可更接近 $0$，但无法取到确界，而 $\sigma = -1$ 时最大值可达，故 $\cos \theta$ 的最大值为 $-\dfrac{7}{9}$。

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(3) 若 $BD \,//\, FG$，点 $P, A, B, D$ 共球，且给定球半径时三棱锥 $P-BCD$ 的体积有 3 个可能的值，求球半径的取值范围

由 $BD \,//\, FG$ 可得 $u = v$，即 $B$ 与 $D$ 关于 $x$ 轴对称。设 $B(u, 2\sqrt{u}, 0)$，$D(u, -2\sqrt{u}, 0)$，其中 $u > 0$ 且 $u \neq 2$。
三棱锥 $P-BCD$ 的体积

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle BCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 = \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}}.$$

设球心 $O(x_0, 0, x_0)$，由 $|OP| = |OA| = |OB|$ 解得

$$x_0 = \frac{u^2 + 4u - 4}{2(u-2)} = \frac{u+6}{2} + \frac{4}{u-2},$$

$$R^2 = 2[(x_0 - 1)^2 + 1].$$

分析 $R^2$ 随 $u$ 的变化：

• 当 $u \in (0, 2)$，$R^2$ 从 $2^+$ 单调递增至 $+\infty$；
• 当 $u \in (2, 2+2\sqrt{2})$，$R^2$ 从 $+\infty$ 单调递减至最小值 $36 + 24\sqrt{2}$；
• 当 $u \in (2+2\sqrt{2}, +\infty)$，$R^2$ 从最小值单调递增至 $+\infty$。

对于固定的 $R$，方程 $R(u) = R$ 的解的个数：
当 $R^2 > 36 + 24\sqrt{2}$ 时，在 $(0,2)$、$(2,2+2\sqrt{2})$、$(2+2\sqrt{2},+\infty)$ 上各有一个解，共三个解，对应三个不同的体积值。
而 $36 + 24\sqrt{2} = 12(\sqrt{2}+1)^2$，故 $R > \sqrt{12}(\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}$。

因此，球半径 $R$ 的取值范围为 $(2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}, +\infty)$。

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最终答案：
(1) 证明见解析；
(2) $\cos \theta$ 的最大值为 $-\dfrac{7}{9}$；
(3) 球半径 $R$ 的取值范围是 $(2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}, +\infty)$。